सोडोवचें {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=17$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=71$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y+71$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

-3y+71क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

7x+5y=120 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+71}{4} बदलपी घेवचो.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

\frac{-3y+71}{4}क 7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

5y कडेन -\frac{21y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{497}{4} वजा करचें.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

दोनूय कुशीनीं -4 न गुणचें.

$$y=17$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4} त y खातीर 17 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

17क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{51}{4} क \frac{71}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=17$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=17$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

सोंपें करचें.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 28x+21y=497 तल्यान 28x+20y=480 वजा करचो.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

-28x कडेन 28x ची बेरीज करची. अटी 28x आनी -28x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$21y-20y=497-480$$

-20y कडेन 21y ची बेरीज करची.

$$y=497-480$$

-480 कडेन 497 ची बेरीज करची.

$$y=17$$

7x+5y=120 त y खातीर 17 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+5\times 17=120$$

17क 5 फावटी गुणचें.

$$7x+85=120$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 85 वजा करचें.

$$7x=35$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=17$$