सोडोवचें {l}{4x+2y=6}{3x-y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 3 x - y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+2y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$4x=-2y+6$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

-2y+6क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

3x-y=-8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+3}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-y=-8$$

\frac{-y+3}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-y=-8$$

-y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

-\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

5क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{2} क \frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{3}{10}\times 6-\frac{2}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

4x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4x+3\times 2y=3\times 6,4\times 3x+4\left(-1\right)y=4\left(-8\right)$$

सोंपें करचें.

$$12x+6y=18,12x-4y=-32$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+6y=18 तल्यान 12x-4y=-32 वजा करचो.

$$12x-12x+6y+4y=18+32$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+4y=18+32$$

4y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$10y=18+32$$

32 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$10y=50$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=5$$

3x-y=-8 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-5=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 ची बेरीज करची.

$$3x=-3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=5$$