सोडोवचें {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=-2$$

$$n=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$4m+9n=-35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9n वजा करचें.

$$4m=-9n-35$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

-9n-35क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

3m-8n=18 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{-9n-35}{4} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

\frac{-9n-35}{4}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-8n कडेन -\frac{27n}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{105}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

-\frac{59}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} त n खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-3क -\frac{9}{4} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{27}{4} क -\frac{35}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-2,n=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=-2,n=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m आनी 3m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

सोंपें करचें.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12m+27n=-105 तल्यान 12m-32n=72 वजा करचो.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

-12m कडेन 12m ची बेरीज करची. अटी 12m आनी -12m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$27n+32n=-105-72$$

32n कडेन 27n ची बेरीज करची.

$$59n=-105-72$$

-72 कडेन -105 ची बेरीज करची.

$$59n=-177$$

दोनुय कुशींक 59 न भाग लावचो.

$$n=-3$$

3m-8n=18 त n खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-3क -8 फावटी गुणचें.

$$3m+24=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 वजा करचें.

$$3m=-6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$m=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-2,n=-3$$