सोडोवचें {l}{4a+3b=13}{6a-5b=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a + 3 b = 13 } \\ { 6 a - 5 b = - 9 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=1$$

$$b=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$4a+3b=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3b वजा करचें.

$$4a=-3b+13$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{4}\left(-3b+13\right)$$

-3b+13क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4}$$

6a-5b=-9 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-3b+13}{4} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4}\right)-5b=-9$$

\frac{-3b+13}{4}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}b+\frac{39}{2}-5b=-9$$

-5b कडेन -\frac{9b}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{19}{2}b+\frac{39}{2}=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{39}{2} वजा करचें.

$$-\frac{19}{2}b=-\frac{57}{2}$$

-\frac{19}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=3$$

a=-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4} त b खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

3क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{-9+13}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{4} क \frac{13}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=1,b=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{38}&\frac{3}{38}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{38}\times 13+\frac{3}{38}\left(-9\right)\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=1,b=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

4a आनी 6a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$6\times 4a+6\times 3b=6\times 13,4\times 6a+4\left(-5\right)b=4\left(-9\right)$$

सोंपें करचें.

$$24a+18b=78,24a-20b=-36$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 24a+18b=78 तल्यान 24a-20b=-36 वजा करचो.

$$24a-24a+18b+20b=78+36$$

-24a कडेन 24a ची बेरीज करची. अटी 24a आनी -24a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$18b+20b=78+36$$

20b कडेन 18b ची बेरीज करची.

$$38b=78+36$$

36 कडेन 78 ची बेरीज करची.

$$38b=114$$

दोनुय कुशींक 38 न भाग लावचो.

$$b=3$$

6a-5b=-9 त b खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6a-5\times 3=-9$$

3क -5 फावटी गुणचें.

$$6a-15=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$6a=6$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$a=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=1,b=3$$