सोडोवचें {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$361x+463y=-102$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 463y वजा करचें.

$$361x=-463y-102$$

दोनुय कुशींक 361 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

-463y-102क \frac{1}{361} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

463x+361y=102 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-463y-102}{361} बदलपी घेवचो.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

\frac{-463y-102}{361}क 463 फावटी गुणचें.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

361y कडेन -\frac{214369y}{361} ची बेरीज करची.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{47226}{361} ची बेरीज करची.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

-\frac{84048}{361} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-1क -\frac{463}{361} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{463}{361} क -\frac{102}{361} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x आनी 463x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 463 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 361 न गुणचें.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

सोंपें करचें.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 167143x+214369y=-47226 तल्यान 167143x+130321y=36822 वजा करचो.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

-167143x कडेन 167143x ची बेरीज करची. अटी 167143x आनी -167143x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

-130321y कडेन 214369y ची बेरीज करची.

$$84048y=-47226-36822$$

-36822 कडेन -47226 ची बेरीज करची.

$$84048y=-84048$$

दोनुय कुशींक 84048 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

463x+361y=102 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

-1क 361 फावटी गुणचें.

$$463x-361=102$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 361 ची बेरीज करची.

$$463x=463$$

दोनुय कुशींक 463 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$