सोडोवचें {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=20$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$30x+15y=675$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15y वजा करचें.

$$30x=-15y+675$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

-15y+675क \frac{1}{30} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

42x+20y=940 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+45}{2} बदलपी घेवचो.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

\frac{-y+45}{2}क 42 फावटी गुणचें.

$$-21y+945+20y=940$$

20y कडेन -21y ची बेरीज करची.

$$-y+945=940$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 945 वजा करचें.

$$-y=-5$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

5क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{2} क \frac{45}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=20$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=20,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x आनी 42x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 42 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 30 न गुणचें.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

सोंपें करचें.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 1260x+630y=28350 तल्यान 1260x+600y=28200 वजा करचो.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

-1260x कडेन 1260x ची बेरीज करची. अटी 1260x आनी -1260x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$630y-600y=28350-28200$$

-600y कडेन 630y ची बेरीज करची.

$$30y=28350-28200$$

-28200 कडेन 28350 ची बेरीज करची.

$$30y=150$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$y=5$$

42x+20y=940 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$42x+20\times 5=940$$

5क 20 फावटी गुणचें.

$$42x+100=940$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 100 वजा करचें.

$$42x=840$$

दोनुय कुशींक 42 न भाग लावचो.

$$x=20$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20,y=5$$