सोडोवचें {l}{3x-y=7}{2x+5y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 7 } \\ { 2 x + 5 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-y=7,2x+5y=16$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$3x=y+7$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+7\right)$$

y+7क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}$$

2x+5y=16 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}\right)+5y=16$$

\frac{7+y}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}+5y=16$$

5y कडेन \frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{3}y+\frac{14}{3}=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{3} वजा करचें.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

\frac{17}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2+7}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{2}{3} क \frac{7}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-y=7,2x+5y=16$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{1}{17}\times 16\\-\frac{2}{17}\times 7+\frac{3}{17}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-y=7,2x+5y=16$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 7,3\times 2x+3\times 5y=3\times 16$$

सोंपें करचें.

$$6x-2y=14,6x+15y=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-2y=14 तल्यान 6x+15y=48 वजा करचो.

$$6x-6x-2y-15y=14-48$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y-15y=14-48$$

-15y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-17y=14-48$$

-48 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$-17y=-34$$

दोनुय कुशींक -17 न भाग लावचो.

$$y=2$$

2x+5y=16 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+5\times 2=16$$

2क 5 फावटी गुणचें.

$$2x+10=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$2x=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=2$$