सोडोवचें {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 4 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$15y-4x=3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-5y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$3x=5y+4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

5y+4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

-4x+15y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y+4}{3} बदलपी घेवचो.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

\frac{5y+4}{3}क -4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

15y कडेन -\frac{20y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

\frac{25}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{3} क \frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 4 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$15y-4x=3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 4 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$15y-4x=3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

3x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

सोंपें करचें.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12x+20y=-16 तल्यान -12x+45y=9 वजा करचो.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

12x कडेन -12x ची बेरीज करची. अटी -12x आनी 12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20y-45y=-16-9$$

-45y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$-25y=-16-9$$

-9 कडेन -16 ची बेरीज करची.

$$-25y=-25$$

दोनुय कुशींक -25 न भाग लावचो.

$$y=1$$

-4x+15y=3 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x+15=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-4x=-12$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$