सोडोवचें {l}{3x-2y-2=6}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y - 2 = 6 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-2y-2=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$3x-2y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$3x=2y+8$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

8+2yक \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

3x+2y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{8+2y}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+2y=4$$

\frac{8+2y}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$2y+8+2y=4$$

2y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$4y+8=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$4y=-4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

-1क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{2}{3} क \frac{8}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 8+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x-2y-2=6 तल्यान 3x+2y=4 वजा करचो.

$$3x-3x-2y-2y-2=6-4$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y-2y-2=6-4$$

-2y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-4y-2=6-4$$

-4 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$-4y-2=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$-4y=4$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

3x+2y=4 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

-1क 2 फावटी गुणचें.

$$3x-2=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$3x=6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$