सोडोवचें {l}{3x+y=6}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

-y+6क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

x+3y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{3}+2 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{3}y+2+3y=6$$

3y कडेन -\frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{3}y+2=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$\frac{8}{3}y=4$$

\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+2 त y खातीर \frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}+2$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{3}{2} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

-\frac{1}{2} कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6-\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3x+y=6,3x+3\times 3y=3\times 6$$

सोंपें करचें.

$$3x+y=6,3x+9y=18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+y=6 तल्यान 3x+9y=18 वजा करचो.

$$3x-3x+y-9y=6-18$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-9y=6-18$$

-9y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-8y=6-18$$

-18 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$-8y=-12$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{3}{2}$$

x+3y=6 त y खातीर \frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3\times \frac{3}{2}=6$$

\frac{3}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{9}{2}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$