सोडोवचें {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

-y+2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

5x-y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+2}{3} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

\frac{-y+2}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

-y कडेन -\frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} वजा करचें.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

-\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{7}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} त y खातीर -\frac{7}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{7}{4} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{7}{12} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

3x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

सोंपें करचें.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x+5y=10 तल्यान 15x-3y=24 वजा करचो.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y+3y=10-24$$

3y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$8y=10-24$$

-24 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$8y=-14$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{7}{4}$$

5x-y=8 त y खातीर -\frac{7}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{4} वजा करचें.

$$5x=\frac{25}{4}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$