सोडोवचें {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+6y=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$3x=-6y+24$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

-6y+24क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+8$$

9x+5y=68 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+8 बदलपी घेवचो.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

-2y+8क 9 फावटी गुणचें.

$$-18y+72+5y=68$$

5y कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$-13y+72=68$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 72 वजा करचें.

$$-13y=-4$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8 त y खातीर \frac{4}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

\frac{4}{13}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

-\frac{8}{13} कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{96}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x आनी 9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

सोंपें करचें.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 27x+54y=216 तल्यान 27x+15y=204 वजा करचो.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

-27x कडेन 27x ची बेरीज करची. अटी 27x आनी -27x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$54y-15y=216-204$$

-15y कडेन 54y ची बेरीज करची.

$$39y=216-204$$

-204 कडेन 216 ची बेरीज करची.

$$39y=12$$

दोनुय कुशींक 39 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68 त y खातीर \frac{4}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

\frac{4}{13}क 5 फावटी गुणचें.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{20}{13} वजा करचें.

$$9x=\frac{864}{13}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{96}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$