सोडोवचें {l}{3x+3y=98}{8x+3y=158}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 98 } \\ { 8 x + 3 y = 158 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=12$$

$$y = \frac{62}{3} = 20\frac{2}{3} \approx 20.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+3y=98$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$3x=-3y+98$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+98\right)$$

-3y+98क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-y+\frac{98}{3}$$

8x+3y=158 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+\frac{98}{3} बदलपी घेवचो.

$$8\left(-y+\frac{98}{3}\right)+3y=158$$

-y+\frac{98}{3}क 8 फावटी गुणचें.

$$-8y+\frac{784}{3}+3y=158$$

3y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-5y+\frac{784}{3}=158$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{784}{3} वजा करचें.

$$-5y=-\frac{310}{3}$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{62}{3}$$

x=-y+\frac{98}{3} त y खातीर \frac{62}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{62}{3}+\frac{98}{3}$$

\frac{62}{3}क -1 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-62+98}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{62}{3} क \frac{98}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-3\times 8}&-\frac{3}{3\times 3-3\times 8}\\-\frac{8}{3\times 3-3\times 8}&\frac{3}{3\times 3-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{8}{15}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 98+\frac{1}{5}\times 158\\\frac{8}{15}\times 98-\frac{1}{5}\times 158\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\\frac{62}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+3y=98,8x+3y=158$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+3y=98 तल्यान 8x+3y=158 वजा करचो.

$$3x-8x+3y-3y=98-158$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3x-8x=98-158$$

-8x कडेन 3x ची बेरीज करची.

$$-5x=98-158$$

-158 कडेन 98 ची बेरीज करची.

$$-5x=-60$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=12$$

8x+3y=158 त x खातीर 12 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8\times 12+3y=158$$

12क 8 फावटी गुणचें.

$$96+3y=158$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 96 वजा करचें.

$$3y=62$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{62}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=\frac{62}{3}$$