सोडोवचें {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$3a+14b=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14b वजा करचें.

$$3a=-14b+4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

-14b+4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

13a+19b=13 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-14b+4}{3} बदलपी घेवचो.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

\frac{-14b+4}{3}क 13 फावटी गुणचें.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

19b कडेन -\frac{182b}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{52}{3} वजा करचें.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

-\frac{125}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} त b खातीर \frac{13}{125} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{13}{125} क -\frac{14}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{182}{375} क \frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{106}{125}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a आनी 13a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 13 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

सोंपें करचें.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 39a+182b=52 तल्यान 39a+57b=39 वजा करचो.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

-39a कडेन 39a ची बेरीज करची. अटी 39a आनी -39a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$182b-57b=52-39$$

-57b कडेन 182b ची बेरीज करची.

$$125b=52-39$$

-39 कडेन 52 ची बेरीज करची.

$$125b=13$$

दोनुय कुशींक 125 न भाग लावचो.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13 त b खातीर \frac{13}{125} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

\frac{13}{125}क 19 फावटी गुणचें.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{247}{125} वजा करचें.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$a=\frac{106}{125}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$