सोडोवचें {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2y-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x-3-2y=-2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-1 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3x+15$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$4y-4-3x=15$$

दोनूय वटांनी 4 जोडचे.

$$4y-3x=15+4$$

19 मेळोवंक 15 आनी 4 ची बेरीज करची.

$$4y-3x=19$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-2y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$3x=2y+1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

-3x+4y=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y+1}{3} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

\frac{2y+1}{3}क -3 फावटी गुणचें.

$$-2y-1+4y=19$$

4y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$2y-1=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$2y=20$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

10क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{20}{3} क \frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2y-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x-3-2y=-2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-1 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3x+15$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$4y-4-3x=15$$

दोनूय वटांनी 4 जोडचे.

$$4y-3x=15+4$$

19 मेळोवंक 15 आनी 4 ची बेरीज करची.

$$4y-3x=19$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-3=2y-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x-3-2y=-2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$3x-2y=-2+3$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y-1 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4y-4=3x+15$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$4y-4-3x=15$$

दोनूय वटांनी 4 जोडचे.

$$4y-3x=15+4$$

19 मेळोवंक 15 आनी 4 ची बेरीज करची.

$$4y-3x=19$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

सोंपें करचें.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -9x+6y=-3 तल्यान -9x+12y=57 वजा करचो.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

9x कडेन -9x ची बेरीज करची. अटी -9x आनी 9x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y-12y=-3-57$$

-12y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$-6y=-3-57$$

-57 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$-6y=-60$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=10$$

-3x+4y=19 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+4\times 10=19$$

10क 4 फावटी गुणचें.

$$-3x+40=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 40 वजा करचें.

$$-3x=-21$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=10$$