सोडोवचें {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

x-y न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मेळोवंक 3x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मेळोवंक 3y आनी 4y एकठांय करचें.

$$-x+7y=-18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न \frac{1}{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

x-y न \frac{1}{6} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मेळोवंक \frac{1}{2}x आनी \frac{1}{6}x एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मेळोवंक \frac{1}{2}y आनी -\frac{1}{6}y एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-x+7y=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$-x=-7y-18$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-7y-18क -1 फावटी गुणचें.

$$x=7y+18$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 7y+18 बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

7y+18क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3} कडेन \frac{14y}{3} ची बेरीज करची.

$$5y+12=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$5y=-10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=7y+18 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

-2क 7 फावटी गुणचें.

$$x=-14+18$$

-14 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

x-y न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मेळोवंक 3x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मेळोवंक 3y आनी 4y एकठांय करचें.

$$-x+7y=-18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न \frac{1}{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

x-y न \frac{1}{6} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मेळोवंक \frac{1}{2}x आनी \frac{1}{6}x एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मेळोवंक \frac{1}{2}y आनी -\frac{1}{6}y एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

x-y न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x मेळोवंक 3x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y मेळोवंक 3y आनी 4y एकठांय करचें.

$$-x+7y=-18$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न \frac{1}{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

x-y न \frac{1}{6} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x मेळोवंक \frac{1}{2}x आनी \frac{1}{6}x एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y मेळोवंक \frac{1}{2}y आनी -\frac{1}{6}y एकठांय करचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x आनी \frac{2x}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{2}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न गुणचें.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

सोंपें करचें.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 तल्यान -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 वजा करचो.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{2x}{3} कडेन -\frac{2x}{3} ची बेरीज करची. अटी -\frac{2x}{3} आनी \frac{2x}{3} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{y}{3} कडेन \frac{14y}{3} ची बेरीज करची.

$$5y=-12+2$$

2 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$5y=-10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

-2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-2$$