सोडोवचें {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मेळोवंक -6 आनी 21 वजा करचे.

$$15x-27-14y=2$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$15x-14y=2+27$$

29 मेळोवंक 2 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$15x-14y=29$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनूय वटांनी 27x जोडचे.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मेळोवंक 6x आनी 27x एकठांय करचें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे.

$$33x-2y=12+23$$

35 मेळोवंक 12 आनी 23 ची बेरीज करची.

$$33x-2y=35$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$15x-14y=29$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14y ची बेरीज करची.

$$15x=14y+29$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

14y+29क \frac{1}{15} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

33x-2y=35 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{14y+29}{15} बदलपी घेवचो.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

\frac{14y+29}{15}क 33 फावटी गुणचें.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2y कडेन \frac{154y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{319}{5} वजा करचें.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

\frac{144}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

-1क \frac{14}{15} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{14}{15} क \frac{29}{15} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मेळोवंक -6 आनी 21 वजा करचे.

$$15x-27-14y=2$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$15x-14y=2+27$$

29 मेळोवंक 2 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$15x-14y=29$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनूय वटांनी 27x जोडचे.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मेळोवंक 6x आनी 27x एकठांय करचें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे.

$$33x-2y=12+23$$

35 मेळोवंक 12 आनी 23 ची बेरीज करची.

$$33x-2y=35$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 मेळोवंक -6 आनी 21 वजा करचे.

$$15x-27-14y=2$$

दोनूय वटांनी 27 जोडचे.

$$15x-14y=2+27$$

29 मेळोवंक 2 आनी 27 ची बेरीज करची.

$$15x-14y=29$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनूय वटांनी 27x जोडचे.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x मेळोवंक 6x आनी 27x एकठांय करचें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे.

$$33x-2y=12+23$$

35 मेळोवंक 12 आनी 23 ची बेरीज करची.

$$33x-2y=35$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x आनी 33x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 33 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 15 न गुणचें.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

सोंपें करचें.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 495x-462y=957 तल्यान 495x-30y=525 वजा करचो.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495x कडेन 495x ची बेरीज करची. अटी 495x आनी -495x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-462y+30y=957-525$$

30y कडेन -462y ची बेरीज करची.

$$-432y=957-525$$

-525 कडेन 957 ची बेरीज करची.

$$-432y=432$$

दोनुय कुशींक -432 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

33x-2y=35 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-1क -2 फावटी गुणचें.

$$33x+2=35$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$33x=33$$

दोनुय कुशींक 33 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$