सोडोवचें {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$25x+110y=6100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 110y वजा करचें.

$$25x=-110y+6100$$

दोनुय कुशींक 25 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

-110y+6100क \frac{1}{25} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

x+y=50 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{22y}{5}+244 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

y कडेन -\frac{22y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 244 वजा करचें.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

-\frac{17}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244 त y खातीर \frac{970}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{970}{17} क -\frac{22}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

-\frac{4268}{17} कडेन 244 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{120}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 25 न गुणचें.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

सोंपें करचें.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 25x+110y=6100 तल्यान 25x+25y=1250 वजा करचो.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

-25x कडेन 25x ची बेरीज करची. अटी 25x आनी -25x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$110y-25y=6100-1250$$

-25y कडेन 110y ची बेरीज करची.

$$85y=6100-1250$$

-1250 कडेन 6100 ची बेरीज करची.

$$85y=4850$$

दोनुय कुशींक 85 न भाग लावचो.

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50 त y खातीर \frac{970}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{970}{17} वजा करचें.

$$x=-\frac{120}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$