सोडोवचें {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=40$$

$$y=55$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x+y=115-20$$

95 मेळोवंक 115 आनी 20 वजा करचे.

$$x+y=95$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$11x-8y=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=95$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+95$$

11x-8y=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+95 बदलपी घेवचो.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

-y+95क 11 फावटी गुणचें.

$$-11y+1045-8y=0$$

-8y कडेन -11y ची बेरीज करची.

$$-19y+1045=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1045 वजा करचें.

$$-19y=-1045$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=55$$

x=-y+95 त y खातीर 55 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-55+95$$

-55 कडेन 95 ची बेरीज करची.

$$x=40$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=40,y=55$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x+y=115-20$$

95 मेळोवंक 115 आनी 20 वजा करचे.

$$x+y=95$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$11x-8y=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=40,y=55$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$x+y=115-20$$

95 मेळोवंक 115 आनी 20 वजा करचे.

$$x+y=95$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$11x-8y=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x आनी 11x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

सोंपें करचें.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 11x+11y=1045 तल्यान 11x-8y=0 वजा करचो.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

-11x कडेन 11x ची बेरीज करची. अटी 11x आनी -11x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$11y+8y=1045$$

8y कडेन 11y ची बेरीज करची.

$$19y=1045$$

दोनुय कुशींक 19 न भाग लावचो.

$$y=55$$

11x-8y=0 त y खातीर 55 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$11x-8\times 55=0$$

55क -8 फावटी गुणचें.

$$11x-440=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 440 ची बेरीज करची.

$$11x=440$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=40$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=40,y=55$$