सोडोवचें {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$2y-3x=-6$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$2y-3x=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3x ची बेरीज करची.

$$2y=3x-6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

-6+3xक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

4y+5x=8 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{3x}{2}-3 बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

\frac{3x}{2}-3क 4 फावटी गुणचें.

$$6x-12+5x=8$$

5x कडेन 6x ची बेरीज करची.

$$11x-12=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$11x=20$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{20}{11}$$

y=\frac{3}{2}x-3 त x खातीर \frac{20}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{20}{11} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

\frac{30}{11} कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$y=-\frac{3}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$2y-3x=-6$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$2y-3x=-6$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y आनी 4y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

सोंपें करचें.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8y-12x=-24 तल्यान 8y+10x=16 वजा करचो.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

-8y कडेन 8y ची बेरीज करची. अटी 8y आनी -8y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12x-10x=-24-16$$

-10x कडेन -12x ची बेरीज करची.

$$-22x=-24-16$$

-16 कडेन -24 ची बेरीज करची.

$$-22x=-40$$

दोनुय कुशींक -22 न भाग लावचो.

$$x=\frac{20}{11}$$

4y+5x=8 त x खातीर \frac{20}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

\frac{20}{11}क 5 फावटी गुणचें.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{100}{11} वजा करचें.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$