सोडोवचें {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x-y=-3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x-y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$-2x=y-3$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

y-3क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

x+y=\frac{1}{2} ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+3}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

y कडेन -\frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{2} वजा करचें.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-2क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

1 कडेन \frac{3}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{5}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x-y=-3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x-y=-3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

सोंपें करचें.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x-y=-3 तल्यान -2x-2y=-1 वजा करचो.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-y+2y=-3+1$$

2y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$y=-3+1$$

1 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{5}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$