सोडोवचें {l}{2x-3y=5}{x+3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y+5$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

3y+5क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

x+3y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+5}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=7$$

3y कडेन \frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{2}y+\frac{5}{2}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{2} वजा करचें.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{9}\times 5+\frac{2}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x-3y=5,2x+2\times 3y=2\times 7$$

सोंपें करचें.

$$2x-3y=5,2x+6y=14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-3y=5 तल्यान 2x+6y=14 वजा करचो.

$$2x-2x-3y-6y=5-14$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y-6y=5-14$$

-6y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-9y=5-14$$

-14 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$-9y=-9$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x+3y=7 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$