सोडोवचें {l}{2x-3y=18}{3x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 3 x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y+18$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+18\right)$$

18+3yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y+9$$

3x+4y=-7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 9+\frac{3y}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{3}{2}y+9\right)+4y=-7$$

9+\frac{3y}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{2}y+27+4y=-7$$

4y कडेन \frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{2}y+27=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$\frac{17}{2}y=-34$$

\frac{17}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=\frac{3}{2}y+9 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+9$$

-4क \frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-6+9$$

-6 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 18+\frac{3}{17}\left(-7\right)\\-\frac{3}{17}\times 18+\frac{2}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 18,2\times 3x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

सोंपें करचें.

$$6x-9y=54,6x+8y=-14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-9y=54 तल्यान 6x+8y=-14 वजा करचो.

$$6x-6x-9y-8y=54+14$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y-8y=54+14$$

-8y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-17y=54+14$$

14 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$-17y=68$$

दोनुय कुशींक -17 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

3x+4y=-7 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+4\left(-4\right)=-7$$

-4क 4 फावटी गुणचें.

$$3x-16=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 ची बेरीज करची.

$$3x=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-4$$