सोडोवचें {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y-5$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

4x+9y=-7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y-5}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

\frac{3y-5}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$6y-10+9y=-7$$

9y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$15y-10=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$15y=3$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} त y खातीर \frac{1}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{5} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{10} क -\frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{11}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x-12y=-20 तल्यान 8x+18y=-14 वजा करचो.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y-18y=-20+14$$

-18y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-30y=-20+14$$

14 कडेन -20 ची बेरीज करची.

$$-30y=-6$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{5}$$

4x+9y=-7 त y खातीर \frac{1}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

\frac{1}{5}क 9 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{5} वजा करचें.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{11}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$