सोडोवचें {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. y+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-15=3y+6$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x-15-3y=6$$

दोनूय वटांनी 15 जोडचे.

$$2x-3y=6+15$$

21 मेळोवंक 6 आनी 15 ची बेरीज करची.

$$2x-3y=21$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-4 न 7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$7x-28=-1-5y$$

दोनूय वटांनी 5y जोडचे.

$$7x-28+5y=-1$$

दोनूय वटांनी 28 जोडचे.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मेळोवंक -1 आनी 28 ची बेरीज करची.

$$7x+5y=27$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y+21$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

21+3yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

7x+5y=27 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{21+3y}{2} बदलपी घेवचो.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

\frac{21+3y}{2}क 7 फावटी गुणचें.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

5y कडेन \frac{21y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{147}{2} वजा करचें.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

\frac{31}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

-3क \frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{2} क \frac{21}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. y+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-15=3y+6$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x-15-3y=6$$

दोनूय वटांनी 15 जोडचे.

$$2x-3y=6+15$$

21 मेळोवंक 6 आनी 15 ची बेरीज करची.

$$2x-3y=21$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-4 न 7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$7x-28=-1-5y$$

दोनूय वटांनी 5y जोडचे.

$$7x-28+5y=-1$$

दोनूय वटांनी 28 जोडचे.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मेळोवंक -1 आनी 28 ची बेरीज करची.

$$7x+5y=27$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. y+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-15=3y+6$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x-15-3y=6$$

दोनूय वटांनी 15 जोडचे.

$$2x-3y=6+15$$

21 मेळोवंक 6 आनी 15 ची बेरीज करची.

$$2x-3y=21$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x-4 न 7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$7x-28=-1-5y$$

दोनूय वटांनी 5y जोडचे.

$$7x-28+5y=-1$$

दोनूय वटांनी 28 जोडचे.

$$7x+5y=-1+28$$

27 मेळोवंक -1 आनी 28 ची बेरीज करची.

$$7x+5y=27$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

सोंपें करचें.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 14x-21y=147 तल्यान 14x+10y=54 वजा करचो.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

-14x कडेन 14x ची बेरीज करची. अटी 14x आनी -14x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-21y-10y=147-54$$

-10y कडेन -21y ची बेरीज करची.

$$-31y=147-54$$

-54 कडेन 147 ची बेरीज करची.

$$-31y=93$$

दोनुय कुशींक -31 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

7x+5y=27 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

-3क 5 फावटी गुणचें.

$$7x-15=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$7x=42$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-3$$