सोडोवचें {l}{2x-0.5y=1}{2/5x-1/5y=4/5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 0.5 y = 1 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x - \frac { 1 } { 5 } y = \frac { 4 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-0.5y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$2x=0.5y+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(0.5y+1\right)$$

\frac{y}{2}+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5} ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{4}+\frac{1}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{5}\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

\frac{y}{4}+\frac{1}{2}क \frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{10}y+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

-\frac{y}{5} कडेन \frac{y}{10} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{5} वजा करचें.

$$-\frac{1}{10}y=\frac{3}{5}$$

दोनूय कुशीनीं -10 न गुणचें.

$$y=-6$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{2} त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{2}$$

-6क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-0.5\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}&-\frac{-0.5}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}\\-\frac{\frac{2}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}&\frac{2}{2\left(-\frac{1}{5}\right)-\left(-0.5\times \frac{2}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2.5\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-2.5\times \frac{4}{5}\\2-10\times \frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-0.5y=1,\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5}$$

2x आनी \frac{2x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{2}{5} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$\frac{2}{5}\times 2x+\frac{2}{5}\left(-0.5\right)y=\frac{2}{5},2\times \frac{2}{5}x+2\left(-\frac{1}{5}\right)y=2\times \frac{4}{5}$$

सोंपें करचें.

$$\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{2}{5},\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}y=\frac{8}{5}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{2}{5} तल्यान \frac{4}{5}x-\frac{2}{5}y=\frac{8}{5} वजा करचो.

$$\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

-\frac{4x}{5} कडेन \frac{4x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{4x}{5} आनी -\frac{4x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

\frac{2y}{5} कडेन -\frac{y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{5}y=\frac{2-8}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{8}{5} क \frac{2}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{1}{5}y=-\frac{6}{5}$$

दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$y=-6$$

\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{4}{5} त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\left(-6\right)=\frac{4}{5}$$

-6क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}=\frac{4}{5}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{6}{5} वजा करचें.

$$\frac{2}{5}x=-\frac{2}{5}$$

\frac{2}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-6$$