सोडोवचें {l}{2x+y=3}{4x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { 4 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+3$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

-y+3क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

4x+5y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+3}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+5y=1$$

\frac{-y+3}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$-2y+6+5y=1$$

5y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$3y+6=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$3y=-5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{5}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} त y खातीर -\frac{5}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{5}{3} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{6} क \frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{7}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 3-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4y=4\times 3,2\times 4x+2\times 5y=2$$

सोंपें करचें.

$$8x+4y=12,8x+10y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+4y=12 तल्यान 8x+10y=2 वजा करचो.

$$8x-8x+4y-10y=12-2$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-10y=12-2$$

-10y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-6y=12-2$$

-2 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-6y=10$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{5}{3}$$

4x+5y=1 त y खातीर -\frac{5}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+5\left(-\frac{5}{3}\right)=1$$

-\frac{5}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{25}{3}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25}{3} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{28}{3}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{7}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$