सोडोवचें {l}{2x+y=11}{5x+3y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+11$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

-y+11क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

5x+3y=30 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+11}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

\frac{-y+11}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

3y कडेन -\frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{55}{2} वजा करचें.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

5क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{2} क \frac{11}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

सोंपें करचें.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+5y=55 तल्यान 10x+6y=60 वजा करचो.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-6y=55-60$$

-6y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$-y=55-60$$

-60 कडेन 55 ची बेरीज करची.

$$-y=-5$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=5$$

5x+3y=30 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+3\times 5=30$$

5क 3 फावटी गुणचें.

$$5x+15=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$5x=15$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=5$$