सोडोवचें {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+8y=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$2x=-8y+16$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

-8y+16क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-4y+8$$

-x+2y+11=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y+8 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-4y+8क -1 फावटी गुणचें.

$$4y-8+2y+11=0$$

2y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$6y-8+11=0$$

11 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$6y+3=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$6y=-3$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y+8 त y खातीर -\frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-\frac{1}{2}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=2+8$$

2 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

सोंपें करचें.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x-8y=-16 तल्यान -2x+4y+22=0 वजा करचो.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y-4y-22=-16$$

-4y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-12y-22=-16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22 ची बेरीज करची.

$$-12y=6$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-x+2y+11=0 त y खातीर -\frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

-\frac{1}{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$-x-1+11=0$$

11 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$-x+10=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$-x=-10$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$