सोडोवचें {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+13$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

-5y+13क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

x+7y=-17 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+13}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

7y कडेन -\frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{13}{2} वजा करचें.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{47}{9}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2} त y खातीर -\frac{47}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{47}{9} क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{235}{18} क \frac{13}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{176}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

सोंपें करचें.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+5y=13 तल्यान 2x+14y=-34 वजा करचो.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-14y=13+34$$

-14y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$-9y=13+34$$

34 कडेन 13 ची बेरीज करची.

$$-9y=47$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{47}{9}$$

x+7y=-17 त y खातीर -\frac{47}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

-\frac{47}{9}क 7 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{329}{9} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{176}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$