सोडोवचें {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+4y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x=-4y+12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

-4y+12क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+6$$

5x-8y=16 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+6 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

-2y+6क 5 फावटी गुणचें.

$$-10y+30-8y=16$$

-8y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$-18y+30=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 वजा करचें.

$$-18y=-14$$

दोनुय कुशींक -18 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{9}$$

x=-2y+6 त y खातीर \frac{7}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

\frac{7}{9}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

-\frac{14}{9} कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{40}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

सोंपें करचें.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+20y=60 तल्यान 10x-16y=32 वजा करचो.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20y+16y=60-32$$

16y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$36y=60-32$$

-32 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$36y=28$$

दोनुय कुशींक 36 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{9}$$

5x-8y=16 त y खातीर \frac{7}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

\frac{7}{9}क -8 फावटी गुणचें.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{56}{9} ची बेरीज करची.

$$5x=\frac{200}{9}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{40}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$