सोडोवचें {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=120$$

$$y=180$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=780$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+780$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

-3y+780क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

5x+4y=1320 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+390 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

-\frac{3y}{2}+390क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

4y कडेन -\frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1950 वजा करचें.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

-\frac{7}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=180$$

x=-\frac{3}{2}y+390 त y खातीर 180 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

180क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-270+390$$

-270 कडेन 390 ची बेरीज करची.

$$x=120$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=120,y=180$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=120,y=180$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

सोंपें करचें.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+15y=3900 तल्यान 10x+8y=2640 वजा करचो.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y-8y=3900-2640$$

-8y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$7y=3900-2640$$

-2640 कडेन 3900 ची बेरीज करची.

$$7y=1260$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=180$$

5x+4y=1320 त y खातीर 180 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+4\times 180=1320$$

180क 4 फावटी गुणचें.

$$5x+720=1320$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 720 वजा करचें.

$$5x=600$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=120$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=120,y=180$$