सोडोवचें {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1.2$$

$$y=1.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=7.8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+7.8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7.8\right)$$

-3y+7.8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

5x+4y=13.2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13.2$$

-\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13.2$$

4y कडेन -\frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13.2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{39}{2} वजा करचें.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

-\frac{7}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{9}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10} त y खातीर \frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{9}{5} क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{27}{10} क \frac{39}{10} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{6}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7.8+\frac{3}{7}\times 13.2\\\frac{5}{7}\times 7.8-\frac{2}{7}\times 13.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7.8,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13.2$$

सोंपें करचें.

$$10x+15y=39,10x+8y=26.4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+15y=39 तल्यान 10x+8y=26.4 वजा करचो.

$$10x-10x+15y-8y=39-26.4$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y-8y=39-26.4$$

-8y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$7y=39-26.4$$

-26.4 कडेन 39 ची बेरीज करची.

$$7y=12.6$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{9}{5}$$

5x+4y=13.2 त y खातीर \frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13.2$$

\frac{9}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$5x+\frac{36}{5}=13.2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{36}{5} वजा करचें.

$$5x=6$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{6}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$