सोडोवचें {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=5-n$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=18-n$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+18-n$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

-3y+18-nक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

4x-y=5n+1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1$$

-\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$-6y+36-2n-y=5n+1$$

-y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-7y+36-2n=5n+1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 36-2n वजा करचें.

$$-7y=7n-35$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=5-n$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9 त y खातीर 5-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\left(5-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

5-nक -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3n-15}{2}-\frac{n}{2}+9$$

\frac{-15+3n}{2} कडेन 9-\frac{n}{2} ची बेरीज करची.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{3}{2}\\5-n\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+12y=72-4n तल्यान 8x-2y=10n+2 वजा करचो.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y+2y=72-4n-10n-2$$

2y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$14y=72-4n-10n-2$$

-2-10n कडेन 72-4n ची बेरीज करची.

$$14y=70-14n$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$y=5-n$$

4x-y=5n+1 त y खातीर 5-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-\left(5-n\right)=5n+1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -5+n वजा करचें.

$$4x=4n+6$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$