सोडोवचें {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+14y=-28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14y वजा करचें.

$$2x=-14y-28$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

-14y-28क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-7y-14$$

-4x-14y=28 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -7y-14 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

-7y-14क -4 फावटी गुणचें.

$$28y+56-14y=28$$

-14y कडेन 28y ची बेरीज करची.

$$14y+56=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 56 वजा करचें.

$$14y=-28$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=-7y-14 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

-2क -7 फावटी गुणचें.

$$x=14-14$$

14 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

2x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

सोंपें करचें.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -8x-56y=112 तल्यान -8x-28y=56 वजा करचो.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

8x कडेन -8x ची बेरीज करची. अटी -8x आनी 8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-56y+28y=112-56$$

28y कडेन -56y ची बेरीज करची.

$$-28y=112-56$$

-56 कडेन 112 ची बेरीज करची.

$$-28y=56$$

दोनुय कुशींक -28 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-4x-14y=28 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

-2क -14 फावटी गुणचें.

$$-4x+28=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28 वजा करचें.

$$-4x=0$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$