सोडोवचें {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोनूय वटांनी 16x जोडचे.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मेळोवंक 2x आनी 16x एकठांय करचें.

$$18x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$18x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 11y वजा करचें.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मेळोवंक 10y आनी -11y एकठांय करचें.

$$-y-10x=-12x$$

दोनूय वटांनी 12x जोडचे.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मेळोवंक -10x आनी 12x एकठांय करचें.

$$-y+2x=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$18x-4y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$18x=4y-10$$

दोनुय कुशींक 18 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

4y-10क \frac{1}{18} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

2x-y=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y-5}{9} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

\frac{2y-5}{9}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

-y कडेन \frac{4y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

-\frac{5}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

-2क \frac{2}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{4}{9} क -\frac{5}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोनूय वटांनी 16x जोडचे.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मेळोवंक 2x आनी 16x एकठांय करचें.

$$18x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$18x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 11y वजा करचें.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मेळोवंक 10y आनी -11y एकठांय करचें.

$$-y-10x=-12x$$

दोनूय वटांनी 12x जोडचे.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मेळोवंक -10x आनी 12x एकठांय करचें.

$$-y+2x=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x+10-4y=-16x$$

दोनूय वटांनी 16x जोडचे.

$$2x+10-4y+16x=0$$

18x मेळोवंक 2x आनी 16x एकठांय करचें.

$$18x+10-4y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$18x-4y=-10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 11y वजा करचें.

$$10y-10x-11y=-12x$$

-y मेळोवंक 10y आनी -11y एकठांय करचें.

$$-y-10x=-12x$$

दोनूय वटांनी 12x जोडचे.

$$-y-10x+12x=0$$

2x मेळोवंक -10x आनी 12x एकठांय करचें.

$$-y+2x=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

18x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 18 न गुणचें.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

सोंपें करचें.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 36x-8y=-20 तल्यान 36x-18y=0 वजा करचो.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

-36x कडेन 36x ची बेरीज करची. अटी 36x आनी -36x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y+18y=-20$$

18y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$10y=-20$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

2x-y=0 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$2x=-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-2$$