सोडोवचें {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

p, m खातीर सोडोवचें

$$p=-2$$

$$m=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक p वेगळावन p खातीर तें सोडोवचें.

$$2p+3m=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3m वजा करचें.

$$2p=-3m+8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

-3m+8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

p+2m=6 ह्या दुस-या समिकरणांत p खातीर -\frac{3m}{2}+4 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

2m कडेन -\frac{3m}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$\frac{1}{2}m=2$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$m=4$$

p=-\frac{3}{2}m+4 त m खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

4क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$p=-6+4$$

-6 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$p=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=-2,m=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां p आनी m काडचीं.

$$p=-2,m=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p आनी p बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

सोंपें करचें.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2p+3m=8 तल्यान 2p+4m=12 वजा करचो.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

-2p कडेन 2p ची बेरीज करची. अटी 2p आनी -2p रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3m-4m=8-12$$

-4m कडेन 3m ची बेरीज करची.

$$-m=8-12$$

-12 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$-m=-4$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$m=4$$

p+2m=6 त m खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p+2\times 4=6$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$p+8=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$p=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=-2,m=4$$