सोडोवचें {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4n वजा करचें.

$$-m+5-4n=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-m-4n=-5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$2m-3n=130$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3n ची बेरीज करची.

$$2m=3n+130$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

3n+130क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

-m-4n=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{3n}{2}+65 बदलपी घेवचो.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

\frac{3n}{2}+65क -1 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-4n कडेन -\frac{3n}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 65 ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

-\frac{11}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65 त n खातीर -\frac{120}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{120}{11} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

-\frac{180}{11} कडेन 65 ची बेरीज करची.

$$m=\frac{535}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4n वजा करचें.

$$-m+5-4n=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-m-4n=-5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4n वजा करचें.

$$-m+5-4n=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-m-4n=-5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m आनी -m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2m+3n=-130 तल्यान -2m-8n=-10 वजा करचो.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

2m कडेन -2m ची बेरीज करची. अटी -2m आनी 2m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3n+8n=-130+10$$

8n कडेन 3n ची बेरीज करची.

$$11n=-130+10$$

10 कडेन -130 ची बेरीज करची.

$$11n=-120$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5 त n खातीर -\frac{120}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-\frac{120}{11}क -4 फावटी गुणचें.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{480}{11} वजा करचें.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$m=\frac{535}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$