सोडोवचें {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$2m-3n=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3n ची बेरीज करची.

$$2m=3n+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

3n+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{3n+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{3n+1}{2}क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-2n कडेन \frac{5n}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{6} वजा करचें.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$n=\frac{1}{3}$$

m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} त n खातीर \frac{1}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{3} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{2} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m आनी \frac{5m}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{5}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

सोंपें करचें.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} तल्यान \frac{10}{3}m-4n=2 वजा करचो.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

-\frac{10m}{3} कडेन \frac{10m}{3} ची बेरीज करची. अटी \frac{10m}{3} आनी -\frac{10m}{3} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

4n कडेन -5n ची बेरीज करची.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

-2 कडेन \frac{5}{3} ची बेरीज करची.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$n=\frac{1}{3}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 त n खातीर \frac{1}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

\frac{1}{3}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$m=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$