सोडोवचें {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$2m+3n=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3n वजा करचें.

$$2m=-3n+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

-3n+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{-3n+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{-3n+1}{2}क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-2n कडेन -\frac{5n}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{6} वजा करचें.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

-\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-\frac{1}{27}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} त n खातीर -\frac{1}{27} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{1}{27} क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{18} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=\frac{5}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m आनी \frac{5m}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{5}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

सोंपें करचें.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} तल्यान \frac{10}{3}m-4n=2 वजा करचो.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

-\frac{10m}{3} कडेन \frac{10m}{3} ची बेरीज करची. अटी \frac{10m}{3} आनी -\frac{10m}{3} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

4n कडेन 5n ची बेरीज करची.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

-2 कडेन \frac{5}{3} ची बेरीज करची.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$n=-\frac{1}{27}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 त n खातीर -\frac{1}{27} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-\frac{1}{27}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{27} वजा करचें.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$m=\frac{5}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$