सोडोवचें {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2ax+by=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान by वजा करचें.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

दोनुय कुशींक 2a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

-by+14क \frac{1}{2a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

-2x+9y=-19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-by+14}{2a} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

\frac{-by+14}{2a}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y कडेन \frac{by}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

दोनुय कुशींक 9+\frac{b}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} त y खातीर \frac{14-19a}{9a+b} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

\frac{14-19a}{9a+b}क -\frac{b}{2a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} कडेन \frac{7}{a} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2a न गुणचें.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

सोंपें करचें.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 तल्यान \left(-4a\right)x+18ay=-38a वजा करचो.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax कडेन -4ax ची बेरीज करची. अटी -4ax आनी 4ax रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay कडेन -2by ची बेरीज करची.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a कडेन -28 ची बेरीज करची.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

दोनुय कुशींक -2b-18a न भाग लावचो.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 त y खातीर -\frac{-14+19a}{b+9a} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}क 9 फावटी गुणचें.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ची बेरीज करची.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2ax+by=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान by वजा करचें.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

दोनुय कुशींक 2a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

-by+14क \frac{1}{2a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

-2x+9y=-19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-by+14}{2a} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

\frac{-by+14}{2a}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y कडेन \frac{by}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

दोनुय कुशींक 9+\frac{b}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} त y खातीर \frac{14-19a}{9a+b} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

\frac{14-19a}{9a+b}क -\frac{b}{2a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} कडेन \frac{7}{a} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2a न गुणचें.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

सोंपें करचें.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 तल्यान \left(-4a\right)x+18ay=-38a वजा करचो.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax कडेन -4ax ची बेरीज करची. अटी -4ax आनी 4ax रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay कडेन -2by ची बेरीज करची.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a कडेन -28 ची बेरीज करची.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

दोनुय कुशींक -2b-18a न भाग लावचो.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 त y खातीर -\frac{-14+19a}{b+9a} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}क 9 फावटी गुणचें.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ची बेरीज करची.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$