सोडोवचें {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-19$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=4$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

x-y न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x मेळोवंक 5x आनी -7x एकठांय करचें.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y मेळोवंक 5y आनी 7y एकठांय करचें.

$$-2x+12y=2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-x+5y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$-x=-5y+4$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

-5y+4क -1 फावटी गुणचें.

$$x=5y-4$$

-2x+12y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 5y-4 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

5y-4क -2 फावटी गुणचें.

$$-10y+8+12y=2$$

12y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$2y+8=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$2y=-6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

x=5y-4 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

-3क 5 फावटी गुणचें.

$$x=-15-4$$

-15 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$x=-19$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-19,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=4$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

x-y न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x मेळोवंक 5x आनी -7x एकठांय करचें.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y मेळोवंक 5y आनी 7y एकठांय करचें.

$$-2x+12y=2$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-19,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

x-y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x मेळोवंक 2x आनी -3x एकठांय करचें.

$$-x+2y+3y=4$$

5y मेळोवंक 2y आनी 3y एकठांय करचें.

$$-x+5y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

x-y न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x मेळोवंक 5x आनी -7x एकठांय करचें.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y मेळोवंक 5y आनी 7y एकठांय करचें.

$$-2x+12y=2$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

-x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न गुणचें.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

सोंपें करचें.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-10y=-8 तल्यान 2x-12y=-2 वजा करचो.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-10y+12y=-8+2$$

12y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$2y=-8+2$$

2 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$2y=-6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

-2x+12y=2 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

-3क 12 फावटी गुणचें.

$$-2x-36=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 36 ची बेरीज करची.

$$-2x=38$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-19$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-19,y=-3$$