सोडोवचें {l}{2(x+y)+(x-y)=12}{x+7y=y-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) + ( x - y ) = 12 } \\ { x + 7 y = y - 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{82}{17} = 4\frac{14}{17} \approx 4.823529412$$

$$y = -\frac{42}{17} = -2\frac{8}{17} \approx -2.470588235$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y+x-y=12$$

3x मेळोवंक 2x आनी x एकठांय करचें.

$$3x+2y-y=12$$

y मेळोवंक 2y आनी -y एकठांय करचें.

$$3x+y=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x+7y-y=-10$$

6y मेळोवंक 7y आनी -y एकठांय करचें.

$$x+6y=-10$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+12\right)$$

-y+12क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+4$$

x+6y=-10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{3}+4 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{3}y+4+6y=-10$$

6y कडेन -\frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{3}y+4=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$\frac{17}{3}y=-14$$

\frac{17}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{42}{17}$$

x=-\frac{1}{3}y+4 त y खातीर -\frac{42}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{42}{17}\right)+4$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{42}{17} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{14}{17}+4$$

\frac{14}{17} कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{82}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y+x-y=12$$

3x मेळोवंक 2x आनी x एकठांय करचें.

$$3x+2y-y=12$$

y मेळोवंक 2y आनी -y एकठांय करचें.

$$3x+y=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x+7y-y=-10$$

6y मेळोवंक 7y आनी -y एकठांय करचें.

$$x+6y=-10$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-1}&-\frac{1}{3\times 6-1}\\-\frac{1}{3\times 6-1}&\frac{3}{3\times 6-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\times 12-\frac{1}{17}\left(-10\right)\\-\frac{1}{17}\times 12+\frac{3}{17}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{17}\\-\frac{42}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. x+y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+2y+x-y=12$$

3x मेळोवंक 2x आनी x एकठांय करचें.

$$3x+2y-y=12$$

y मेळोवंक 2y आनी -y एकठांय करचें.

$$3x+y=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x+7y-y=-10$$

6y मेळोवंक 7y आनी -y एकठांय करचें.

$$x+6y=-10$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3x+y=12,3x+3\times 6y=3\left(-10\right)$$

सोंपें करचें.

$$3x+y=12,3x+18y=-30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+y=12 तल्यान 3x+18y=-30 वजा करचो.

$$3x-3x+y-18y=12+30$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-18y=12+30$$

-18y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-17y=12+30$$

30 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-17y=42$$

दोनुय कुशींक -17 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{42}{17}$$

x+6y=-10 त y खातीर -\frac{42}{17} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+6\left(-\frac{42}{17}\right)=-10$$

-\frac{42}{17}क 6 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{252}{17}=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{252}{17} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{82}{17}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$