सोडोवचें {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-4 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-8+3y=31$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे.

$$6x+3y=31+8$$

39 मेळोवंक 31 आनी 8 ची बेरीज करची.

$$6x+3y=39$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-2y=50$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+3y=39$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$6x=-3y+39$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

-3y+39क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

5x-2y=50 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+13}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

\frac{-y+13}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-2y कडेन -\frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{65}{2} वजा करचें.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

-\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} त y खातीर -\frac{35}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{35}{9} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{35}{18} क \frac{13}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{76}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-4 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-8+3y=31$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे.

$$6x+3y=31+8$$

39 मेळोवंक 31 आनी 8 ची बेरीज करची.

$$6x+3y=39$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-2y=50$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3x-4 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-8+3y=31$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे.

$$6x+3y=31+8$$

39 मेळोवंक 31 आनी 8 ची बेरीज करची.

$$6x+3y=39$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-2y=50$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

सोंपें करचें.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30x+15y=195 तल्यान 30x-12y=300 वजा करचो.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

-30x कडेन 30x ची बेरीज करची. अटी 30x आनी -30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y+12y=195-300$$

12y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$27y=195-300$$

-300 कडेन 195 ची बेरीज करची.

$$27y=-105$$

दोनुय कुशींक 27 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50 त y खातीर -\frac{35}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-\frac{35}{9}क -2 फावटी गुणचें.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{70}{9} वजा करचें.

$$5x=\frac{380}{9}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{76}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$