सोडोवचें {l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$16x+2y=1530$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$16x+2y=1530$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$16x=-2y+1530$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

-2y+1530क \frac{1}{16} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

817x+110y=77715 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+765}{8} बदलपी घेवचो.

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

\frac{-y+765}{8}क 817 फावटी गुणचें.

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

110y कडेन -\frac{817y}{8} ची बेरीज करची.

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{625005}{8} वजा करचें.

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

\frac{63}{8} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{365}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8} त y खातीर -\frac{365}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{365}{7} क -\frac{1}{8} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{365}{56} क \frac{765}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{715}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$16x+2y=1530$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$16x+2y=1530$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

16x आनी 817x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 817 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 16 न गुणचें.

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

सोंपें करचें.

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 13072x+1634y=1250010 तल्यान 13072x+1760y=1243440 वजा करचो.

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

-13072x कडेन 13072x ची बेरीज करची. अटी 13072x आनी -13072x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

-1760y कडेन 1634y ची बेरीज करची.

$$-126y=1250010-1243440$$

-1243440 कडेन 1250010 ची बेरीज करची.

$$-126y=6570$$

दोनुय कुशींक -126 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{365}{7}$$

817x+110y=77715 त y खातीर -\frac{365}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

-\frac{365}{7}क 110 फावटी गुणचें.

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{40150}{7} ची बेरीज करची.

$$817x=\frac{584155}{7}$$

दोनुय कुशींक 817 न भाग लावचो.

$$x=\frac{715}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$