सोडोवचें {l}{14p+20q=13}{15p-25q=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 p + 20 q = 13 } \\ { 15 p - 25 q = 13 } \end{array} \right.$$

p, q खातीर सोडोवचें

$$p=\frac{9}{10}=0.9$$

$$q=\frac{1}{50}=0.02$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक p वेगळावन p खातीर तें सोडोवचें.

$$14p+20q=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20q वजा करचें.

$$14p=-20q+13$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$p=\frac{1}{14}\left(-20q+13\right)$$

-20q+13क \frac{1}{14} फावटी गुणचें.

$$p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}$$

15p-25q=13 ह्या दुस-या समिकरणांत p खातीर -\frac{10q}{7}+\frac{13}{14} बदलपी घेवचो.

$$15\left(-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14}\right)-25q=13$$

-\frac{10q}{7}+\frac{13}{14}क 15 फावटी गुणचें.

$$-\frac{150}{7}q+\frac{195}{14}-25q=13$$

-25q कडेन -\frac{150q}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{325}{7}q+\frac{195}{14}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{195}{14} वजा करचें.

$$-\frac{325}{7}q=-\frac{13}{14}$$

-\frac{325}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$q=\frac{1}{50}$$

p=-\frac{10}{7}q+\frac{13}{14} त q खातीर \frac{1}{50} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p=-\frac{10}{7}\times \frac{1}{50}+\frac{13}{14}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{50} क -\frac{10}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$p=-\frac{1}{35}+\frac{13}{14}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{35} क \frac{13}{14} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$p=\frac{9}{10}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&20\\15&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{14\left(-25\right)-20\times 15}&-\frac{20}{14\left(-25\right)-20\times 15}\\-\frac{15}{14\left(-25\right)-20\times 15}&\frac{14}{14\left(-25\right)-20\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}&\frac{2}{65}\\\frac{3}{130}&-\frac{7}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}\times 13+\frac{2}{65}\times 13\\\frac{3}{130}\times 13-\frac{7}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{50}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां p आनी q काडचीं.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$14p+20q=13,15p-25q=13$$

14p आनी 15p बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 15 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 14 न गुणचें.

$$15\times 14p+15\times 20q=15\times 13,14\times 15p+14\left(-25\right)q=14\times 13$$

सोंपें करचें.

$$210p+300q=195,210p-350q=182$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 210p+300q=195 तल्यान 210p-350q=182 वजा करचो.

$$210p-210p+300q+350q=195-182$$

-210p कडेन 210p ची बेरीज करची. अटी 210p आनी -210p रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$300q+350q=195-182$$

350q कडेन 300q ची बेरीज करची.

$$650q=195-182$$

-182 कडेन 195 ची बेरीज करची.

$$650q=13$$

दोनुय कुशींक 650 न भाग लावचो.

$$q=\frac{1}{50}$$

15p-25q=13 त q खातीर \frac{1}{50} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$15p-25\times \frac{1}{50}=13$$

\frac{1}{50}क -25 फावटी गुणचें.

$$15p-\frac{1}{2}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} ची बेरीज करची.

$$15p=\frac{27}{2}$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$p=\frac{9}{10}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=\frac{9}{10},q=\frac{1}{50}$$