सोडोवचें {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=40$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$125x+110y=6100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 110y वजा करचें.

$$125x=-110y+6100$$

दोनुय कुशींक 125 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

-110y+6100क \frac{1}{125} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

x+y=50 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

y कडेन -\frac{22y}{25} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{244}{5} वजा करचें.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

\frac{3}{25} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=10$$

x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

10क -\frac{22}{25} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{44}{5} क \frac{244}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=40$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=40,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=40,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 125 न गुणचें.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

सोंपें करचें.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 125x+110y=6100 तल्यान 125x+125y=6250 वजा करचो.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

-125x कडेन 125x ची बेरीज करची. अटी 125x आनी -125x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$110y-125y=6100-6250$$

-125y कडेन 110y ची बेरीज करची.

$$-15y=6100-6250$$

-6250 कडेन 6100 ची बेरीज करची.

$$-15y=-150$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=10$$

x+y=50 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+10=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$x=40$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=40,y=10$$