सोडोवचें {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$11x+19y=25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 19y वजा करचें.

$$11x=-19y+25$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

-19y+25क \frac{1}{11} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

19x+11y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-19y+25}{11} बदलपी घेवचो.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

\frac{-19y+25}{11}क 19 फावटी गुणचें.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11y कडेन -\frac{361y}{11} ची बेरीज करची.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{475}{11} वजा करचें.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

-\frac{240}{11} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} त y खातीर \frac{31}{24} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{31}{24} क -\frac{19}{11} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{589}{264} क \frac{25}{11} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{24}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x आनी 19x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 19 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न गुणचें.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

सोंपें करचें.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 209x+361y=475 तल्यान 209x+121y=165 वजा करचो.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209x कडेन 209x ची बेरीज करची. अटी 209x आनी -209x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$361y-121y=475-165$$

-121y कडेन 361y ची बेरीज करची.

$$240y=475-165$$

-165 कडेन 475 ची बेरीज करची.

$$240y=310$$

दोनुय कुशींक 240 न भाग लावचो.

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15 त y खातीर \frac{31}{24} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

\frac{31}{24}क 11 फावटी गुणचें.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{341}{24} वजा करचें.

$$19x=\frac{19}{24}$$

दोनुय कुशींक 19 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{24}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$