सोडोवचें {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मेळोवंक y आनी -6y एकठांय करचें.

$$10x-5y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मेळोवंक x आनी -10x एकठांय करचें.

$$10y-9x=y+27$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$10y-9x-y=27$$

9y मेळोवंक 10y आनी -y एकठांय करचें.

$$9y-9x=27$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x-5y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$10x=5y+5$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

5+5yक \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

-9x+9y=27 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{1+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

\frac{1+y}{2}क -9 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

9y कडेन -\frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

7क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{7}{2} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मेळोवंक y आनी -6y एकठांय करचें.

$$10x-5y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मेळोवंक x आनी -10x एकठांय करचें.

$$10y-9x=y+27$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$10y-9x-y=27$$

9y मेळोवंक 10y आनी -y एकठांय करचें.

$$9y-9x=27$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$10x+y-6y=5$$

-5y मेळोवंक y आनी -6y एकठांय करचें.

$$10x-5y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x मेळोवंक x आनी -10x एकठांय करचें.

$$10y-9x=y+27$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$10y-9x-y=27$$

9y मेळोवंक 10y आनी -y एकठांय करचें.

$$9y-9x=27$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x आनी -9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

सोंपें करचें.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -90x+45y=-45 तल्यान -90x+90y=270 वजा करचो.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

90x कडेन -90x ची बेरीज करची. अटी -90x आनी 90x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$45y-90y=-45-270$$

-90y कडेन 45y ची बेरीज करची.

$$-45y=-45-270$$

-270 कडेन -45 ची बेरीज करची.

$$-45y=-315$$

दोनुय कुशींक -45 न भाग लावचो.

$$y=7$$

-9x+9y=27 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-9x+9\times 7=27$$

7क 9 फावटी गुणचें.

$$-9x+63=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 63 वजा करचें.

$$-9x=-36$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=7$$