सोडोवचें {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=14$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x+5y=170$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$10x=-5y+170$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

-5y+170क \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

6x+10y=200 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+17 बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

-\frac{y}{2}+17क 6 फावटी गुणचें.

$$-3y+102+10y=200$$

10y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$7y+102=200$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 102 वजा करचें.

$$7y=98$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 त y खातीर 14 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

14क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-7+17$$

-7 कडेन 17 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=14$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=14$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

सोंपें करचें.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 60x+30y=1020 तल्यान 60x+100y=2000 वजा करचो.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

-60x कडेन 60x ची बेरीज करची. अटी 60x आनी -60x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$30y-100y=1020-2000$$

-100y कडेन 30y ची बेरीज करची.

$$-70y=1020-2000$$

-2000 कडेन 1020 ची बेरीज करची.

$$-70y=-980$$

दोनुय कुशींक -70 न भाग लावचो.

$$y=14$$

6x+10y=200 त y खातीर 14 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+10\times 14=200$$

14क 10 फावटी गुणचें.

$$6x+140=200$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 140 वजा करचें.

$$6x=60$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=14$$